平方数列求和的一种非正常求法

在高中数学的学习过程中，我们应该会知道这样一个公式：

$$\sum^n_{k=1}\left(2k-1\right)=n^2$$

那么我们就会想到

$$\sum^n_{k=1}k^2=\sum^n_{k=1}\left(\sum^n_{k=1}\left(2k-1\right)\right)$$

展开来写，便是：

$$\begin{split} \sum_{k=1}^n k^2 &= 1+(1+3)+(1+3+5)+\dots+[1+3+5+\dots+(2n-1)]\\ &= 1\cdot n+3\cdot (n-1)+5\cdot (n-2)+\dots +(2n-1)\cdot [n-(n-1)]\\ &= n+(3n-3)+(5n-10)+\dots +[(2n-1)n-(2n-1)(n-1)]\\ &= (\textstyle\sum_{k=1}^n(2k-1))\cdot n-\textstyle\sum_{k=1}^n[(2k-1)(k-1)]\\ &= n^2\cdot n-\textstyle\sum_{k=1}^n(2k^2-3k+1)\\ &= n^3-2\textstyle\sum_{k=1}^nk^2+3\textstyle\sum_{k=1}^nk-\textstyle\sum_{k=1}^n\\ &=n^3-2\textstyle\sum_{k=1}^nk^2+3\cdot\frac{n(1+n)}{2}-n \end{split}$$

那么，我们就可以把 $\sum^n_{k=1}k^2$ 放在等号的一侧，即

$$3\sum\limits_{k=1}^{n}{k^2}=n^3+\frac{3n(1+n)}{2}-n$$

于是，

$$\sum\limits_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{n^3+\frac{3n(1+n)}{2}-n}{3}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$